На практике не всегда известна вероятность случайной величины. Чаще проводят серию экспериментов для измерения случайной величины. Количество измерений конечно, и представляет собой ограниченную выборку из генеральной совокупности (то есть совокупности всех возможных значений характеристик измеряемых величин). Мы можем найти дисперсию этой выборки характеристик случайной величины, которая называется выборочной дисперсией. Таким образом, среднее значение результатов бросания игральной кости равно 3.5, что является “typical” значением для такой случайной величины.
Пример 2
Вычисление математического ожидания позволяет оценить среднее значение случайной величины и предсказать ее характеристики. Оно является важным инструментом в анализе данных и принятии решений на основе статистических моделей. Математическое ожидание случайной величины $X$ (обозначается $M(X)$ или реже $E(X)$) характеризует среднее значение случайной величины (дискретной или непрерывной). Для случайной величины, принимающей значения только 0 или 1, математическое ожидание равно p — вероятности «единицы».
Математическое ожидание дискретной случайной величины
Математическое ожидание относят к так называемым характеристикам положения распределения (к которым также принадлежат мода и медиана). Эта характеристика описывает некое усредненное положение случайной величины на числовой оси. Значит, математическое ожидание случайной величины равно . Это значит, что если все значения случайной величины равновероятны, то математическое ожидание равно среднему арифметическому числовых значений случайной величины . Где $x$ – возможные значения случайной величины, $p(x)$ – вероятности соответствующих значений случайной величины.
Примеры
Любому из параметров — исход случающийся с некоторой вероятностью. Значит каждому из них соответствует определённое значение вероятности, поэтому для сучайной величины, являющейся дискретной, вторая часть закона распределения —это ряд $ P_1, P_2 … Целиком же закон распределния представляет собой таблицу, где в одной строке значения принимемые величиной, а в другой вероятности им сосответствующие.
Математическое ожидание суммы таких случайных величин равно np, где n — количество таких случайных величин. При этом вероятности появления определённого количества единиц рассчитываются по биномиальному распределению. Поэтому в литературе, скорее всего, легче найти запись, что мат. Найдите математическое ожидание случайной величины “число очков, выпавших на игральной кости”. Найдите математическое ожидание случайной величины “число неудач” в серии из 16 испытаний Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании.
На практике часто нужно знать, на сколько случайная величина отклоняется от своего среднего значения, то есть от математического ожидания этой случайно величины. Чтобы найти насколько одна величина отличается от другой, находят разность между этими величинами. Но чаще не имеет значения, в какую сторону происходит отклонение, то есть больше или меньше случайная величина своего среднего значения, а важно узнать именно абсолютное значение отклонения. Поэтому разность между значением случайной величины и ее математическим ожиданием возводят в квадрат.
- Вычисление математического ожидания позволяет оценить среднее значение случайной величины и предсказать ее характеристики.
- Математическое ожидание суммы таких случайных величин равно np, где n — количество таких случайных величин.
- Математическое ожидание случайного вектора равно вектору, компоненты которого равны математическим ожиданиям компонентов случайного вектора.
- Математическое ожидание позволяет оценить ожидаемое среднее значение случайной величины и является важным инструментом в теории вероятностей и статистике.
Определение через функцию распределения случайной величины
Математическое ожидание позволяет прогнозировать средние результаты случайных явлений и является основой для многих важных концепций и методов статистики, экономики, физики и других наук. Оно также помогает в изучении и анализе сложных систем, в которых случайность играет существенную роль. Рассмотрим простые примеры, показывающие как найти M(X) по формулам, введеным выше.
Найдите математическое ожидание суммы выпавших очков. Василий пытается отправить СМС в условиях слабой мобильной связи. Телефон делает попытки отправить СМС до тех пор, пока это не удастся. Известно, что вероятность удачной попытки равна независимо Мета Трейдер 4 брокер от предыдущих попыток. Найдите математическое ожидание числа сделанных попыток. Значит, математическое ожидание числа попаданий при 50 бросках равно 35.
Математическое ожидание называют также ожидаемым значением случайной величины , средним значением случайной величины . Например, при оценке прибыли инвестиционного проекта, можно рассчитать математическое ожидание будущей прибыли, учитывая вероятности различных исходов и связанные с ними значения. Это позволяет принять рациональное решение на основе предполагаемой средней прибыли и степени риска. Где x1, x2, …, xn – значения случайной величины, а P(x1), P(x2), …, P(xn) – их вероятности. Средняя стоимость одного билета позволяет оценивать общую доходность, а также помогает рассчитать необходимые стоимости зрительных мест для получения равной выручки для разных залов. Вычислим среднюю цену для одного билета, как среднее арифметическое от всех цен на все места.
В этой статье мы рассмотрим определение и свойства математического ожидания, а также рассмотрим примеры решения задач. Одним из примеров применения математического ожидания в экономике является модель оценки финансовых инструментов, таких как акции или облигации. Расчет математического ожидания доходности данных инструментов может помочь инвесторам принять решение о потенциальных инвестициях и определить ожидаемый доход. Пусть случайная величина X принимает значения 1, 2, 3, 4 с вероятностями 0.2, 0.3, 0.4 и 0.1 соответственно.